理发师悖论是罗素悖论的通俗举例,是由伯特兰·罗素在1901年提出的。
罗素悖论的出现是由于朴素集合论对于元素的不加限制的定义。
由于当时集合论已成为数学理论的基础,这一悖论的出现直接导致了第三次数学危机，也引发了众多的数学家对这一问题的补救，最终形成了现在的公理化集合论。同时,罗素悖论的出现促使数学家认识到将数学基础公理化的必要性。
导读：一个理发师引发的“血案”：第三次数学危机——罗素悖论
从前，有一个喜欢没事找事的理发师，他说：“我给且只给自己不理发的人理头发”。有个更喜欢没事找事还闲得慌的人问他：“那你给自己理头发吗？”然后这个理发师就不知道怎么回答了。
成龙大哥表示脑袋“duang~duang”的
当然了这个理发师不是傻子，不然也不会说出这么有水平的话了，原因在于：无论他怎么回答，都是自相矛盾的！
- 如果理发师给自己理头发，那他就属于给自己理头发的人，自己不应该给自己理头发，和前提矛盾；
- 如果理发师不给自己理头发，那他应该属于不给自己理头发的人，自己应该给自己理头发，又和前提矛盾；
所以真不怪理发师回答不上，这个问题就是个悖论，从什么方面解释都不对！
这个问题实际上是对著名的罗素悖论（Russell Paradox）的另一种表述方式，那么什么是罗素悖论？为什么说他引发了第三次数学危机呢？一切的起因还得从集合论讲起。
康托尔和集合论
康托尔年轻的时候还是很帅的
格奥尔格·康托尔（1845-1918），德国数学家，他的超穷数理论和集合论在数学界留下了极其浓墨重彩的一笔，尤其是集合论，直接影响了19到20两个世纪的数学和哲学发展！
集合论的描述较为复杂，简单理解就是：一堆具有确定属性的事物的集合。
文氏图是集合论的一种重要表示方法
集合有三个特性：确定性，互异性，无序性。我们来看下面这个集合：
A={吴彦祖，刘德华，我}；我∈A
吴彦祖，刘德华和我，都是男人，我们就可以构成一个男人（A）的集合，我属于集合A；但是吴彦祖，刘德华，我不能构成一个中年帅哥的集合，因为我还年轻~（自恋一下）。
其实集合论提出伊始就存在着一个漏洞，而且是个致命的漏洞。这个问题被罗素提了出来，这就是上文提到的罗素悖论。
罗素悖论
罗素在人类科学史上的地位不亚于爱因斯坦
这里先说一句，罗素可不是杠精，柏兰特·罗素，英国著名的哲学家，数学家和作家，并且是获得过诺贝尔文学奖大人物，他提出这个问题确实是一针见血，我们来看下罗素悖论具体的内容：
集合S由一切不属于自身的集合所组成。：S是否属于S呢？
- S∈S: 由于S是不属于S的集合所构成的集合，S∈S与前者相悖；
- S∉S：那么S包含在由不属于S的集合所构成的集合中，S应当属于S，和前者相悖；
看上去有些好笑是吧，但康托尔笑不出来，他沉浸在哈勒大学的办公室里，日复一日苦思冥想，最后终于——疯了！对的，你没看错，可怜的康托尔被他自己的理论搞疯了。虽然在他的晚年病情有所改善，但是病痛始终折磨着他，直至他去世。
罗素悖论，至今没有一个强有力的诠释，他就和祖父悖论，上帝悖论成为了人类科学史上至今难以跨越的高峰。罗素悖论虽然简单，但就是着简单的一句话搞垮了康托尔数十年的心血，并引发了数学帝国的第三次危机。为了避免此悖论，人们提出了许多新的集合论体系，比较著名的有——ZF体系和NBG体系
ZF体系
直到1908年，德国数学家策梅洛将集合论改造成了新的集合论公理体系。这一体系后来又被弗兰克尔的改进，也就是现在人们熟知的ZF公理系统。
ZF体系：P(x)是x的一个性质，对任意已知集合A，存在一个集合B使得对所有元素x∈B当且仅当x∈A且P(x)；
{x∣x是一个集合}在该系统中无法写成一个集合，因为它并不是任何已知集合的子集；另外，该公理中存在集合A={x∣x是一个集合}在ZF系统中能被证明是矛盾的，故而罗素悖论在该系统中被避免了。
NBG体系
冯诺依曼和他的“儿子”——埃尼阿克
计算机之父——冯·诺伊曼等人提出了NBG系统等。在该公理系统中，所有包含了集合的"集合"都能被称为“类”，凡是集合也能被称为类，其中有些“类”太大了，大到以至于都不能算是一个集合，因此只能是个类。这同样也避免了罗素悖论。
