公因数和公倍数的概念

【公因数】一般指公约数。公约数,亦称“公因数”。它是一个能被若干个整数同时均整除的整数。
【公倍数】是指在两个或两个以上的自然数中,如果它们有相同的倍数,这些倍数就是它们的公倍数。

因数和倍数、公因数和公倍数在小学数学里,属于基础知识点,很少单独考,翻看近两年河北省小升初的二十几套试卷,一共也才三道题。但是在其他知识点中会应用到。

一、概念:

a×b=c(a和b都是不为0的自然数),那么c就是a和b的倍数,a和b就是c的因数。一个数最小的因数是1,最大的因数是它本身。

公因数:几个数公有的因数,叫做这几个数的公因数。

最大公因数:几个数的公因数中最大的一个因数叫做这几个数的最大公因数。
a和b的最大公因数是n,记作(a,b)=n。

互质:公因数只有1的两个数,叫做互质数。1和任何自然数(0除外)都互质。

公倍数:一个数能同时被几个数整除,则称这一个数是这几个数的公倍数。

最小公倍数:公倍数中最小的那个数。
a和b的最小公倍数是m,记作[a,b]=m。

二、求最大公因数、最小公倍数的方法

1、短除法
短除法求最大公因数:两数并排短除公因数,直到两个数互质,把左边除过的数乘起来。
短除法求最小公倍数:两数并排短除公因数,直到两个数互质,把左边除过的数和下边剩下的数都乘起来。

2、分解质因数法
最大公约数:分解质因数后取共有质因数的最低次方相乘。
最小公倍数:分解质因数后取每种质因数的最高次方相乘。

三、例题解析:

1、两个数的最大公约数是12,如果这两个数的积是1728,则最小公倍数是( )。
解题步骤:
①两个数的最大公约数是12,可以假设这两数分别是12a和12b,a和b互质;
②所以12a×12b=1728,所以ab=1728÷144=12。
③两个数的最小公倍数=12ab=144。

2、墨莫和小高在黑板上各写了一个自然数,它们的最大公因数是42,最小公倍数是168,那么这两个数的和是多少?
解题步骤:
①两个数的最大公因数是42,可以假设这两数分别是42a和42b,a和b互质;
②42ab=168,ab=4。a=1、b=4。
③所以,两数之和是210。

3、教师节到了,校工会买了320个苹果、240个桔子、200个香蕉来慰问退休老职工。请问:这些水果最多可以分成多少份同样的礼物?每份礼物中,苹果、桔子、香蕉各有多少个?
解题步骤:
①求320、240、200的最大公因数,是40,即可以分成40份同样的礼物。
②苹果:320÷40=8(个);桔子:240÷40=6(个);香蕉:200÷40=5(个)。

4、两个不同质数的积的约数有( )个。
4个:分别是1、乘积、质数1、质数2。

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